4 Lección: Reducción de ángulos al primer cuadrante y problemas con funciones trigonométricas.

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Utilizando las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de un ángulos del primer cuadrante y las de sus ángulos asociados, es posible encontrar las razones de un ángulo cualquiera en función de las razones de un ángulo del primer cuadrante. Se presentan los siguientes casos:

  • Primer caso: 0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ}. El ángulo es del primer cuadrante y sus razones se hallan directamente con la calculadora

  •  

    Segundo caso: 90^{\circ}\leq \theta \leq 180^{\circ}. El ángulo es del segundo cuadrante. En este caso, recurriendo al ángulo 180^{\circ}-\theta que es un ángulo del primer cuadrante resulta:

sen(\theta)=sen(180^{\circ}-\theta),\, cos(\theta)=-cos(180^{\circ}-\theta)

Las razones de los ángulos resultantes se deducen de estas dos:

tan(\theta )=-tan(180^{\circ}-\theta)

sec(\theta)=-sec(180^{\circ}-\theta)

ctg(\theta )=-ctg(180^{\circ}-\theta)

csc(\theta)=csc(180^{\circ}-\theta)

  • Tercer caso: 180^{\circ} \leq \theta \leq 270. El ángulo es del tercer cuadrante. En esta caso recurriendo al ángulo \theta-180º, que es un ángulo del primer cuadrante , se tiene:

 

sen(\theta)=-sen(\theta-180^{\circ}),cos(\theta)=-cos(\theta-180^{\circ})

El anterior resultado expresa que:

Dos ángulos que difieren en 180º tienen iguales las tangentes y las cotangentes y opuestas las demás razones.

  • Cuarto caso: 270^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}. El ángulo es del cuarto cuadrante. En esta caso recurriendo al ángulo 360º-\theta, que es un ángulo del primer cuadrante , se tiene:

 

sen(\theta)=-sen(360^{\circ}-\theta),cos(\theta)=cos(360^{\circ}-\theta)

Los ángulos \theta  y 360^{\circ}-\theta  se dicen opuestos. El anterior resultado expresa que:

Dos ángulos opuestos tienen iguales las cosenos y las secantes y opuestas las demás razones.

  •  

    Quinto caso: \theta\geq 360^{\circ}. ángulos mayores que una circunferencia. si dividimos \theta entre 360^{\circ}, obtendremos \theta=360^{\circ}+\beta (k cociente entero, \beta resto) Sé dira que \theta es el resulyado de sumarle a \beta un número exacto (k) de vueltas completas.

    Se conviene en tomar: sen\,\theta=sen\,\beta\, y\, cos\theta=cos\,\beta donde sen\,\beta\, y\, cos\,\beta se calculan con base en los cuatro casos anteriores pues 0^{\circ}\leq\beta\geq 306^{\circ}, acordando que \theta tiene el mismo punto asociado a \beta. 

  • Sexto Caso: \theta < 0^{\circ}. Ángulos negativos presentan dos posibilidades:

    a) -360^{\circ}\leq\theta<0^{\circ}: Las razones trigonométricas son las mismas que las del ángulo 360+\theta o 360-|\theta|. Que está entre 0^{\circ}\, y\, 360^{\circ}

    b) \theta<-360^{\circ}. Se divide \theta entre 360^{\circ} para eliminar las vueltas completas; el resto \beta será un ángulo del caso a). se conviene que las razones trigonométricas de \theta son iguales a las de \beta.

Antes de analizar las situaciones que se pueden resolver son las funciones trigonométricas, es importante reconocer la diferencia entre un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.

El ángulo de elevación de un punto A, desde el punto O del observados, es el ángulo medido desde la horizontal que contiene a O hacia arriba, hasta la línea OB de la visual.

Ejercicios

FIGURA 1. EJEMPLO

El ángulo de depresión de un punto A', desde el punto O del observados, es el ángulo medido desde la horizontal que contiene a O hacia arriba, hasta la línea OB' de la visual.

Ejercicios

FIGURA 2. EJEMPLO

Ejemplo:

Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120
metros, el ángulo de depresión de una embarcación es de 15°. ¿A qué distancia del faro está la embarcación ?

Solución: Lo primero que tenemos que hacer es dibujar el triángulo que se forma con los datos del problema.

Ejercicios

FIGURA 3. EJEMPLO

Aunque el problema viene con un ángulo de depresión de 15°, por la nota anterior el ángulo de elevación mide lo mismo. A partir de aquí hacemos uso de la relación tangente:

tan 15^\circ=\frac{120}{x}


x=\frac{120}{tan 15^\circ}


x = -447,93

PREGUNTA: El ángulo de 243° se encuentra en el cuadrante: