MATEMÁTICAS

FIGURA 1. Grafica de una funcion

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser larecta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

FIGURA 2. Grafica de una funcion

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

m_t = f'(a)

Ejemplos

Dada f(x) = x², calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

FIGURA 3. Grafica de una funcion

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b²x³ + bx² + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

f'(1) = f'(2)

f'(x) = 3b²x² + 2bx + 3

f'(1) = 3b² + 2b + 3

f'(2) = 12b² + 4b + 3

3b² + 2b + 3 = 12b² + 4b + 3

9b² + 2b = 0

b = 0 b = −2/9