FÍSICA

TEOREMA DE BERNOULLI

Esta ecuación es la conservación de la energía para el líquido que va dentro de un tubo. No se puede plantear si el líquido tiene viscosidad. Así como los sólidos existe el rozamiento, en los líquidos se denomina viscosidad.

\(P_e+\frac{1}{2}\rho v_e^2+\rho gh_e=P_s+\frac{1}{2}\rho v_s^2+\rho gh_s\)

Donde

Para tubos horizontales \(h_e=h_s=0\)

Para tubos verticales se debe tener en cuenta por cuál extremo ingresa el fluído, ya que es un factor primordial a la hora de plantear las alturas de cada extremo.

Cuando el tubo cambia de diámetro de la sección de en medio se debe plantear cada cambio de sección por separado, es decir, que variable se tiene en cada sección en donde el cambio de diámetro se evidencia:

Para 2 tenemos \(P_2\), \(v_2\).

Para 3 tenemos \(P_3\), \(v_3\).

En caso de tubo inclinado tenemos diferentes valores para \(h\).

Ejemplo 1: Un tubo que conduce un fluido incomprensible cuya densidad es \(1,30\ \times 10^3\ kg/m^3\), es horizontal en \(h_0\ 0\ m\). Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de \(h_1\ =\ 1\ m\). El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es \(P_0\ =\ 1,50\ atm\), calcule la presión \(P_1\) en la parte superior.

Solución:

Al tener área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por lo tanto: \(v_0\ =\ v_1\ =\ v\)

Entonces, aplicando la ecuación de Bernoulli, se tiene:

P₀ + ρgh₀ + ½ ρv² = P₁ + ρgh₁ + ½ ρv²

P₀ + ρgh₀ = P₁ + ρgh₁

De donde: P₁ = P₀ + ρgh₀ - ρgh₁

Como \(P_0\ =\ 1,50\ atm\); \(1atm\ =\ 101325\ P_a\), entonces debemos convertir atmosfera a pascal

P₁ = 151987,5 Pa + (1,30 x 10³ kg/m3)(9,8m/s²)(0m) - (1,30 x 10³ kg/m3)(9,8m/s²)(1m)

P₁ = 151987,5 Pa – 12740 Pa

P₁ = 139247,5 Pa = 1,37 atm

ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI

En hidrodinámica tenemos dos ecuaciones fundamentales para resolver los ejercicios: El teorema de Bernoulli y la ecuación de continuidad.

\(Q=S*v=constante\) Ya que el caudal de entrada es el mismo que el caudal de salida.

\(P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=constante\) Por que se cumple que éste valor de la igualdad debe ser igual en ambos miembros.

CONCEPTO UNO: A MAYOR SECCIÓN, MENOR VELOCIDAD

De la ecuación de continuidad se puede hacer una deducción importante: Si el valor \(Q=S*v\) siempre se tiene que mantener constante, entonces donde el tubo sea más angosto LA VELOCIDAD SERÁ MAYOR.

Esto pasa porque el caudal que circula es constante. Entonces si el tubo se hace más angosto, para que pueda circular el mismo caudal, la velocidad de líquido tiene que aumentar.

Exactamente lo contrario pasa si el caño se hace más ancho,la velocidad del líquido tiene que disminuir para que pueda seguir pasando el mismo caudal.

CONCEPTO DOS: A MAYOR VELOCIDAD, MENOR PRESIÓN

Algo importante que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli es que en el lugar donde la velocidad del líquido que circula sea mayor, la presión será menor.

Aclaración importante: Esto pasa solo si el tubo es horizontal.

En realidad el término \(P_e+\frac{1}{2}\rho v_e^2\) vale lo mismo que el término \(P_s+\frac{1}{2}\rho v_s^2\) . Es decir, si al lado izquierdo de la ecuación vale \(5\), el lado derecho también tiene que valer \(5\).

Supongamos que estás lavando el carro con una manguera y aprietas la punta. El diámetro de la manguera se achica y ahora el agua sale con mayor velocidad.

Como la velocidad de salida aumenta, la presión de salida tendrá que disminuir para mantener la igualdad de los términos a la derecha y a la izquierda de la ecuación.

Es decir que si la velocidad a la salida aumenta, la presión a la salida va a disminuir.

CONCEPTO TRES: A MAYOR SECCION, MAYOR PRESION

Hasta ahora relacionamos el concepto de sección con el de velocidad y el concepto de velocidad con el de presión. Ahora vamos a relacionar el concepto de sección con el de presión.

Por un lado dijimos que a menor sección, mayor velocidad (Continuidad).

Por otro lado te dije que a mayor velocidad, menor presión. (Bernoulli en tubos horizontales).

Uniendo estas \(2\) ideas en una sola, podemos decir que a menor sección, menor presión. O lo que es lo mismo, a mayor sección, mayor presión.

Esta conclusión significa que donde mayor sea el diámetro del tubo, mayor va a ser la presión en el líquido que circula. Esto es válido sólo para tubos horizontales.

PREGUNTA: Un líquido fluye de izquierda a derecha por un tubo cilindrico. La densidad de la sustancia es \(1,5\ kg/m^3\) . Su velocidad en el extremo de entrada es \(v_0\ =\ 2\ m/s\), y la presión allí es de \(1,5\ Pa\) y el radio de la sección es \(r_0\ =\ 10\ cm\). El extremo de salida está a \(4,5\ m\) abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí es \(r_1\ =\ 8\ cm\). Encontrar la presión \(P_1\) en este extremo del tubo?. Nota: para este ejercicio se utiliza la ecuación de continuidad, \(S_2\ v_2\ =\ S_1\ v_1\) , donde \(S\ =\ \pi\ r^2\) . Considere \(g\ =\ 9,8\ m/s^2\).