PROBLEMAS DE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
Cotidianamente se necesita expresar en el lenguaje algebraico situaciones de la vida real en donde necesitaremos emplear sistemas de ecuaciones con 3 o más incógnitas.
Por lo tanto a continuación se desarrollará un problema donde se aplican los conceptos de sistemas de tres ecuaciones con 3 incógnitas.
Amalia va a la feria escolar y encuentra las siguientes clases de paquetes de útiles escolares en promoción: el primer paquete consta de 5 cuadernos de cien hojas, 3 bolígrafos y 4 lápices, por $8200. El segundo paquete contiene 4 cuadernos de cien hojas, 5 bolígrafos y 3 lápices, por un valor de $ 7550.El tercer paquete lleva 2 cuadernos de 100 hojas, 1 bolígrafo y 2 lápices, por un precio de $3300.
¿Cuál es el costo de cada articulo?
Se debe hallar el precio de un cuaderno de cien hojas, un bolígrafo y un lápiz.
Designemos por \(x\) el precio del cuaderno, por \(y\) el precio del bolígrafo y por \(w\) el del lápiz, y anotemos los datos en una tabla.
Ahora se puede plantear un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas.
\(5x+3y+4w=8200\) 1
\(4x+5y+3w=7550\) 2
\(2x+1y+2w=3300\) 3
Multiplicando la ecuación 1 por 4, la ecuación 2 por -5 y la ecuación 3 por -2, nos resultan la siguientes ecuaciones:
\(20x+12y+16w=32800\) 4
\(-20x-25y-15w=-37750\) 5
\(-4x-2y-4w=-6600\) 6
Si sumamos las ecuaciones 4 y 5 y también las ecuaciones 2 y 6 , se elimina la incógnita \(x\); veamos:
\(20x+12y+16w=328004x+5y+w=7550\)
\(-20x-25y-15w=-37750-4x-2y-4w=-6600\)
_____________________________________________________
\(0x-13y+1w=-4950\) 7 \(0x+3y-1w=950\) 8
Sumando las ecuaciones 7 y 8 se elimina la incógnita \(w\):
\(-13y+1w=-4950\)
\(3y-1w=950\)
________________________
\(-10y+0w = -4000\)
\(-10y=-4000\)
\(y=400\)
Reemplazando el valor de \(400\) para y en la ecuación 8 tenemos:
\(3 (400)-w=950\)
\(1200-950=w\)
\(250=w\)
Reemplazando los valores de \(y\) y de \(w\) en alguna de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación 3 podemos hallar el valor de \(x\).
\(2x+y+2w =3300\)
\(2x+400+2(250)=3300\)
Resolviendo las operaciones encontramos el valor de \(x\):
\(2x+900=3300\)
\(x=1200\)
Encontramos que la solución del sistema es \((1200,400,250)\).
Por lo tanto un cuaderno vale $1200, un bolígrafo $400 y un lápiz $250.
PREGUNTA:Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, \(6 \ kg\) de jamón serrano y \(12 \ L\) de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que \(1 \ L\) de aceite cuesta el triple que \(1 \ L\) de leche y que \(1 \ kg\) de jamón cuesta igual que \(4 \ L\) de aceite más \(4 \ L\) de leche.