MATEMÁTICAS

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. SUMA

Regla general para sumar fracciones:

1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.

2. Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si son de distitnto denominador.

3. Se efectúan las multiplicaciones indicadas.

4. Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador común.

5. Se reducen términos semejantes en el numerador.

6. Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo 1: Simplificar \(\frac{x-4a}{2ax}+\frac{x-2}{5x^{2}}+\frac{1}{10x}\)

\(\frac{x-4a}{2ax}+\frac{x-2}{5x^{2}}+\frac{1}{10x}=\frac{5x(x-4a)+2a(x-2)+ax}{10ax^{2}}\)

(multiplicando)\(\frac{5x^{2}-20ax+2ax-4a+ax}{10ax^{2}}\)

(reduciendo términos semejantes)\(\frac{5x^{2}-17ax-4a}{10ax^{2}}\)

2. RESTA.

Regla general para restar fracciones:

1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.

2. Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si tienen distinto denominador.

3. Se efectúan las multiplicaciones indicadas.

4. Se restan los numeradores y la diferencia se parte por el denominador común.

5. Se reducen términos semejantes en el numerador.

6. Se simplifica el resultado si es posible.

Ejemplo 2: Restar \(\frac{x+2}{x^{2}}\) de \(\frac{x-1}{3x}\)

El m.c.m de los denominadores e s\(3x^{2}\), que será el denominador común:

Tendremos: \(\frac{x+2}{x^{2}}-\frac{x-1}{3x}=\frac{x(x-1)}{3x^{2}}-\frac{3(x+2)}{3x^{2}}\)

(multiplicando)\(=\frac{x^{2}-x}{3x^{2}}-\frac{3x+6}{3x^{2}}\)

(restando los numeradores)\(=\frac{x^{2}-x\,\,\,-(3x+6}{3x^{2}}\)

(quitando el paréntesis)\(=\frac{x^{2}-x\,\,\,-3x-6}{3x^{2}}\)

(reduciendo)\(\frac{x^{2}-4x-6}{3x^{2}}\)

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Regla general para multiplicar fracciones.

1. Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las fracciones que se van a multiplicar.

2. Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.

3. Se multiplican entre si las expresiones que queden en los numeradores después de simplificar, y este producto se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.

Ejemplo 3: Multiplicar : \(\frac{2a}{3b^{3}},\,\frac{3b^{2}}{4x},\,\frac{c^{2}}{2a^{2}}\)

\(\frac{2a}{3b^{3}}*\frac{3b^{2}}{4x}*\frac{x^{2}}{2a^{2}}\)

\(= \frac{2*3*a*b^{2}*x^{2}}{3*4*2*a^{2}*b^{3}*x}\)

(Simplificando)\(= \frac{x}{4ab}\)

Ejemplo 3: Multiplicar \( \frac{3x-3}{2x+4}\) por \( \frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-x}\)

Factorando, tendremos:

\( \frac{3x-3}{2x+4}* \frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}+x}= \frac{3(x-1)}{2(x+2)}* \frac{(x+2)^{2}}{x(x-1)}= \frac{3(x+2)}{2x}= \frac{3x+6}{2x}\)

Ejemplo 4: Multiplicar: \( \frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a}, \frac{a^{2}-a-6}{3a^{2}+7a+4}, \frac{3a+4}{a^{2}-4a+3}\).

Factorando tendremos: \( \frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a}* \frac{a^{2}-a-6}{3a^{2}+7a+4}*\frac{3a+4}{a^{2}-4a+3}\)

\(= \frac{(a+1)(a-1)}{a(a+2)}*\frac{(a-3)(a+2)}{(a+1)(3a+4)}*\frac{3a+4}{(a-1)(a--3)}=\frac{1}{a}\)

DIVISIÓN DE FRACCIONES

REGLA: Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.

Ejemplo 5: Dividir \(\frac{4a^{2}}{3b^{2}}\) entre \(\frac{2ax}{9b^{3}}\).

\(\frac{4a^{2}}{3b^{2}}\div\frac{2ax}{9b^{3}}=\frac{4a^{2}}{3b^{2}}*\frac{9b^{3}}{2ax}\frac{6ab}{x}\)

Ejemplo 6: Dividir \(\frac{x^{2}+4x}{8}\) entre \(\frac{x^{2}-16}{4}\)

\(\frac{x^{2}+4x}{8}\div\frac{x^{2}-16}{4}=\frac{x^{2}+4x}{8}* \frac{4}{x^{2}-16}=\frac{x(x+4)}{8}*\frac{4}{(x+4)(x-4)}=\frac{x}{2x-8}\)

PREGUNTA: ¿Cuál es el resultado de dividir \(\frac{x^{3}+125}{x^{2}-64} \div \frac{x^{3}-5x^{2}+25x}{x^{2}+x-56}\)?