CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
El barco pirata del parque de atracciones está suspendido sobre dos enormes estructuras triangulares. Para asegurarse de que la dos estructuras son idénticas, el ingeniero constructor debe comprobar que cada lado y cada ángulo de uno de los triángulos es congruente con un lado y un ángulo de otro.
La estabilidad del barco depende de que estas dos estructuras sean idénticas es decir, congruentes. Para ello los tres ángulos y los tres lados de un triángulo deben ser congruentes con los respectivos lados y ángulos del otro.
Figura 1. El barco pirata.
En este caso podemos afirmar que el triángulo \(ABC\) es congruente con el triángulo \(DEF(\triangle ABC \, \cong \, \triangle \, DEF)\), porque:
\(\overline{AB} \cong \overline{DE}\), \(\overline{AC} \cong \overline{DF}\), \(\overline{BC} \cong \overline{EF}\) y \(\angle{CAB} \cong \angle {FDE}\); \(\angle{ABC} \cong \angle {DEF}\), \(\angle{BCA} \cong \angle {EFD}\).
Los pares de ángulos o de lados congruentes en dos triángulos congruentes se llaman partes correspondientes.
Veamos si la tarea de comprobar la congruencia de dos triángulos podría facilitarse.
¿Será suficiente con probar la congruencia de un lado de cada triángulo o de un ángulo de cada triángulo para afirmar que los triángulos si son congruentes?
Es obvio que no. Con un ejemplo en cada caso verificamos que esa afirmación es errónea.
Los triángulos de la figura 2 tienen un lado congruente y no son congruentes y los triángulos de la figura 3 tienen un ángulo congruente y tampoco son congruentes.
Figura 2 y 3. Triángulos no congruentes.
Ejemplo 1: Triángulos no congruentes.
Figura 4. Ejemplo 1.
Al analizar las posibilidades anteriores para determinar cuándo dos triángulos son congruentes, podemos concluir que:
Figura 5. Comprobar la congruencia.
Los siguientes postulados hacen referencia a tres maneras rápidas de estudiar cuándo dos triángulos son congruentes.
Postulado Lado-lado-lado(LLL).
Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Figura 6. Lado lado lado.
Postulado Lado-ángulo-lado.(LAL)
Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en un triángulo,son congruentes con los dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en el otro triángulo, los triángulos son congruentes.
Figura 6. Lado ángulo lado.
Ángulo-lado-ángulo(ALA).
Si el lado y los dos ángulos adyacentes a él en un triángulo son congruentes con el lado y dos ángulos adyacentes a él en el otro triángulo, los triángulos son congruentes.
Figura 7. Ángulo lado ángulo.
De los tres postulados, tal vez el que más conviene al ingeniero constructor, del problema del barco pirata, es el ALA.
No siempre al comprobar la congruencia de dos triángulos, los tenemos separados, ni en la misma posición. Por ello, mientras se adquiere práctica, conviene calcarlos y separarlos antes de estudiar su congruencia.
Ejemplo 2: En la figura 8 tenemos los triángulos \(ABC\) y \(DCB\), y además sabemos que \(\overline{AC} \cong \overline{BD}\), \(\overline{AB} \cong \overline{CD}\) y \(\angle A\cong \angle D\). ¿Cómo podemos garantizar que \(\triangle ABC \cong \triangle DCB\)?.
Figura 8. ejemplo 2.
Solución:
Para visualizar mejor los triángulos que estudiaremos, conviene separarlos.
Figura 9. Solución ejemplo 2.
PREGUNTA: Identifico qué postulado permite afirmar la congruencia de las parejas de triángulos de la figura 10. Recuerdo qué segmentos qué segmentos con igual color indican congruencia
Figura 10. Pregunta.