MATEMÁTICAS

LA LÓGICA DE LA GEOMETRÍA

Figura 1. Es lógico.
¿Qué significa la expresión "es lógico"? En la vida diaria escuchamos frecuentemente esa frase. Con ella entendemos que alguna afirmación ha sido obtenida de un razonamiento en forma organizada.

A partir de la actividad manual, el uso de construcciones y verificación, en el número suficiente de casos, obtenemos generalizaciones sobre las relaciones que encontramos entre los elementos geométricos. A esta forma de pensar la llamamos razonamiento inductivo.

Para construir una geometría debemos dar un paso más. Hay que encontrar un método para comprobar que las generalizaciones son válidas en el sistema que estamos construyendo. Para ello hacemos uso del razonamiento deductivo, que se basa en la demostración.
Figura 2. Definición demostrar.

Los teoremas que demostraremos tienen forma de oraciones condicionales; por ejemplo: "Si paso la evaluación, aprobaré la asignatura". O: "Veré la salida del sol al levantarme temprano". Las oraciones condicionales constan de dos partes: una condición y una conclusión. Por eso, toda oración condicional puede reformularse escribiéndola así: "si..., entonces...". El segundo ejemplo podemos reformularlo así: "si me levanto temprano, entonces veré la salida del sol".

En geometría, para probar una proposición condicional mediante el razonamiento deductivo, utilizaremos el siguiente proceso:

Figura 3. Proceso de razonamiento deductivo.

Cuando un teorema se demuestra, se convierte en una nueva herramienta para dar argumentos.
Además, para comprender el teorema, lo reformularemos separando las condiciones y lo que nos piden demostrar. Siempre que sea posible conviene hacer un dibujo de la situación veamos

Figura 4. Teorema.

Ejemplo 1: Demostremos el teorema anterior.
Reformulación
Dados: \(l\) es una recta y \(P\) un punto que no pertenece a la \(l\).
Demostremos: existe un único que contiene a \(l\) y a \(P\).

Figura 5. Recta y Punto ejemplo 1.

Para organizar la demostración separaremos en dos columnas las afirmaciones que vamos haciendo de las justificaciones de dichas afirmaciones.

Demostración





Figura 6. Demostración ejemplo 1.

De nuestro razonamiento concluimos que hay exactamente un solo plano que contiene a \(l\) y a \(P\).

En ocasiones es necesario usar como argumentos propiedades de las operaciones y de la igualdad, que estudiamos en álgebra. A continuación resumiremos las más utilizadas.

PROPIEDADES ALGEBRAICAS
- Propiedad conmutativa de la adición: \(a\ +\ b\ =\ b\ +\ a\)
- Propiedad asociativa de la adición: \((a\ +\ b)\ +\ c\ =\ a\ +\ (b\ +\ c)\)
- Propiedad distributiva: \(a*(b\ +\ c)\ =\ a*b\ +\ a*c\)

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
- Propiedad reflexiva: \(a\ =\ a \ para \ cualquier \ a\)
- Propiedad transitiva: si \(a\ =\ b\) y \(b\ =\ c\), entonces \(a\ =\ c\). Esta propiedad nos permite sustituir una variable por otra. Por ejemplo:
Si \(a\ =\ b\) y \(x\ +\ a\ =\ c\). Cada vez que utilicemos esta propiedad, la llamaremos principio de sustitución.

- Propiedad simétrica: si \(a\ =\ b\), entonces \(b=a\).
- Propiedad aditiva de la igualdad: si \(a=b\), entonces \(a\,+/-\,c=b\,+/-\,c\); y si \(a\ =\ b\) y \(c\ =\ d\), entonces \(a\ +\ c\ =\ b\ +\ d\).
- Propiedad multiplicativa de la igualdad: si \(a\ =\ b\), entonces \(a*c\ =\ b*c\); y si \(a*c\ =\ b*c\), entonces \(a\ =\ b\) (siempre que \(c\) diferente de \(0\)).

Como las medidas de segmentos y ángulos son números, y medidas iguales implican congruencia. Las propiedades de la igualdad se extienden a las de la congruencia indistintamente.

ÁNGULOS ESPECIALES

Con dos tablas de madera, Margarita quiere hacer el marco para un cuadro. Ella desea contarlas de tal modo que cada esquina forme un ángulo recto.
¿Cuál debe sera la medida de los ángulos de cada trozo de tabla y qué relación hay entre ellos?
Recordemos que un ángulo es una figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Los rayos se llaman lados del ángulo y el origen recibe el nombre de vértice. Un ángulo se nombra de distintas maneras; por ejemplo, el ángulo de la figura se nombre: ángulo CBA ,B, ABC, o 1. Cuando se utilizan tres puntos para renombrarlo, la letra del centro indica el vértice.

Figura 7. Ángulo 1.
Para trabajar en geometría euclidiana con ángulos, aceptamos como válidos los postulados siguientes:

Figura 8. Postulado medida de ángulos.
La medida de un ángulo \(ABC\), la escribimos \(m \angle ABC\).  El instrumento que utilizamos para asignar la medida de un ángulo es el transportador.

Figura 9. Postulado Adición.

Para trabajar en geometría euclidiana con ángulos recordamos las siguientes definiciones:

Figura 10. Definiciones ángulos congruentes y adyacentes.

Figura 11. Definiciones ángulos complementarios y suplementarios.

Figura 12. Definiciones ángulos opuestos y par lineal.

Figura 13. Definición bisectriz.

De la definición de par lineal en la figura 12 se desprende el siguiente postulado:

Figura 14. Postulado suplementarios.

Estas definiciones y postulados nos dan más herramientas para demostrar nuevos teoremas.

Veamos algunos ejemplos de demostraciones de algunos teoremas que hacen uso de ellas.

Teorema bisectriz de un ángulo.
Al trazar la bisectriz de un ángulo, la medida del ángulo original es el doble de la medida de cualquiera de los ángulos que se forman.


Figura 15. Reformulación y demostración de la Bisectriz de un ángulo.


Teorema ángulos opuestos por el vértice.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.


Figura 16. Reformulación y demostración de ángulos opuestos por el vértice.


Teorema ángulos complementarios congruentes.
Complementos de ángulos congruentes son congruentes.

Figura 17. Reformulación y demostración de ángulos complementarios congruentes.

Teorema punto medio de un segmento.
El punto medio de un segmento lo divide en dos segmentos, tales que la medida del segmento original es el doble de la medida de cada uno de ellos.

Figura 18.  Reformulación y demostración de punto medio.

Recréate solucionando el siguiente ejercicio:
Escoge el único número primero que hay entre el \(90\) y el \(100\), y exprésalo como la suma de:
a. Números consecutivos.
b. Números primos.
c. Cuadrados.
d. Cubos.

PREGUNTA: En la figura 19, las rectas \(l\), \(m\) y \(n\) se cortan en \(A\); el ángulo \(GAB\ =\ 85^{\circ}\) y el ángulo \(CAD\ =\ 30^{\circ}\). Al hallar las medidas de los ángulos \(m\angle 1, m \angle 3, m \angle 5\) y \(m \angle 6\), los resultados serían:
Figura 19. Pregunta.