PARALELAS, TRANSVERSALES Y ÁNGULOS ESPECIALES
A través del tiempo, los matemáticos han desarrollado importantes teoremas basados en la idea de paralelismo. Dentro de las deducciones que tienen más aplicación están aquellas que hacen afirmaciones sobre los pares de ángulos que se forman al cortar dos paralelas con una transversal. Por ejemplo, en la construcción de instrumentos ópticos como el periscopio, se usan estas ideas.
Este instrumento se diseñó para mirar desde un submarino, algún objeto que esté por encima de la superficie del agua. La linea de visión por la parte de abajo es paralela al rayo de luz que entra por arriba. ¿Cómo deben colocarse los espejos para que llegue la imagen al observador?
Figura 1. Periscopio.
Usemos un trozo de papel rayado para delinear dos rectas paralelas y una recta transversal que las atraviese. Para señalar que \(m\) y \(n\) son paralelas, dibujaremos sobre cada una de ellas una flecha del mismo color, como se muestra en la figura 2.
Figura 2. Papel rayado.
La transversal de la figura 2 forma, con las rectas paralelas, diferentes tipos de pares de ángulos.
- Pares de ángulos correspondientes, como \(\angle 1\) y \(\angle 2\). ¿Qué otros pares de ángulos son correspondientes?
- Pares de ángulos alternos internos, como \(\angle 3\) y \(\angle 6\). ¿Qué otros pares de ángulos son alternos internos?
- Pares de ángulos alternos externos,como \(\angle 2\) y \(\angle 7\). ¿Qué otros pares de ángulos son alternos externos?
Si sobre papel mantequilla copiamos los ángulos \(\angle 1\), \(\angle 2\), \(\angle 3\), \(\angle 4\), de la figura anterior y superponemos el papel sobre los ángulos \(\angle 5\), \(\angle 6\), \(\angle 7\), y \(\angle 8\), podemos establecer los siguientes postulados:
→Si dos rectas paralelas son cortadas por una trasversal, los ángulos correspondientes son congruentes.
→Si dos rectas son cortadas por una trasversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, las rectas son paralelas.
→Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a la recta dada.
En la figura 2, como \(m \parallel n\), entonces: \(\angle 1 \cong \angle 5\); \(\angle 3 \cong \angle 7\); \(\angle 2 \cong \angle 6\); \(\angle 4 \cong \angle 8\).
Utilizando estos postulados y las definiciones, postulados, propiedades y teoremas vistos anteriormente, podemos demostrar varios teoremas.
Teorema: paralelas y ángulos alternos internos.
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos son congruentes.
Figura 3. Reformulación y demostración de paralelas y ángulos alternos internos.
Teorema ángulos alternos internos entre paralelas.
Si dos rectas son cortadas por una trasversal, y resultan ángulos alternos internos congruentes, las rectas son paralelas.
Ejemplo 1. Demostremos el teorema de ángulos alternos internos.
Figura 4. Reformulación y demostración ejemplo 1.
Teorema Suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo.
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es \(180^{\circ}\).
Ejemplo 2. Demostración el teorema de la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo.
Figura 5. Reformulación y demostración ejemplo 2.
Teorema medida del ángulo externo de un triángulo.
La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.
Ejemplo 3. Demostremos el teorema de la medida del ángulo externo.
Figura 6. Reformulación y demostración ejemplo 3.
Teorema ángulo congruente.
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los terceros ángulos también son congruentes.
Este teorema se refiere en la congruencia de ángulos, pero no a la congruencia de los lados respectivos en los dos triángulos. Puede ocurrir que los lados no sean congruentes a pesar de que los ángulos respectivos sí lo sean, como lo muestra la figura 7.
Figura 7. Teorema ángulo congruente.
PREGUNTA: De acuerdo a la figura 8. ¿Son paralelas las rectas \(j\) y \(k\)?
Figura 8. Pregunta.