SECUENCIA DE NÚMEROS: SUCESIONES Y PROGRESIONES.
Muchos fenómenos de la naturaleza se presentan en forma secuencial, por ejemplo, la multiplicación de poblaciones animales se realiza en esa forma, cada especie tiene un tiempo promedio de procreación y como el número de individuos depende de las veces que se da ese periodo, resulta una sucesión.
En las transacciones financieras como imposiciones, anualidades, ajustes por corrección monetaria,etc., se usa el interés compuesto, en el cual las cantidades resultantes al final de cada periodo siguen una regla análoga a la dada en la multiplicación de poblaciones.
En música cada nota de una escala natural tiene una frecuencia, por ejemplo, la nota do⁵ que corresponde al do central de un piano, tiene una frecuencia de 256 ciclos/segundo o hertzios. La nota do⁴ correspondiente a la escala inferior o inmediatamente a la izquierda, tiene 128 hertzios y el do⁶ de la escala inmediatamente superior, tiene 512 ciclos/segundo. De esta manera la frecuencia de una nota y la de sus octavas más bajas y más altas conforman una secuencia de números.
Consideremos la secuencia de circunferencias de la figura cuyos radios son \(1, 2, 3, 4, 5,\)...
La secuencia de las longitudes de tales circunferencias es: \(2\pi,4\pi,6\pi,8\pi,10\pi,\) ...
Observando el diagrama y los números reales que corresponden a las longitudes, podemos establecer la función que expresa como dependen las longitudes de las circunferencias de sus radios: \(s(n)={2 n\pi}\).
En la secuencia de las longitudes de las circunferencias, tenemos :
– La primera circunferencia tiene perímetro \(2\pi\).
– La segunda circunferencia tiene perímetro \(4\pi\).
– La tercera circunferencia tiene perímetro \(6\pi\).
– La n-ésima circunferencia tiene perímetro \(2\pi\).
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. El rango de una sucesión es cualquier conjunto, ya sea de letras, símbolos
arbitrarios, números, … El rango de una sucesión se nota con el conjunto \(S(n)=s(n)=s(1), s(2), s(3), s(4), s(5),\)… que también se escribe \({s1, s2, s3, s4, s5,}\)...
Una sucesión finita es aquella cuyo dominio es un subconjunto finito de los números enteros positivos.
Ejemplo:
Encontremos los cinco primeros términos de la sucesión \(S(n)={Sn}={n\over n+1}\)
– El término que se encuentra haciendo \(n=1\,es\,{1\over2}\).
\(n=1,{S1}={1\over 1+1}=1\)
– El segundo término para \(n=2, \,es\, {2 \over 3}\).
\(n=2,{S2}={ 2\over 2+1}={2\over 3}\)
– El quinto término es \({5 \over 6}\)
\(n=5,{S5}={5\over 5+1}={5\over6}\)
Hallemos una expresión para el enésimo término de la sucesión: \({-1, 2, -3, 4, -5, 6, ...}\)
De acuerdo con la secuencia se observa que los números enteros positivos aparecen en su posición ordinal, los impares con signo negativo y los pares con signo positivo. Una manera de escribir la función correspondiente a esa sucesión es:
\(S(n)={n\,si\,n\,es\,par \atop -n \,si \,n \,es\,impar}\)
También es posible expresar la sucesión dada como:
\({(-1)^{1}*1, (-1)^{2}*2, (-1)^{3}*3, (-1)^{4}*4, (-1)^{5}*5,\) …\(,(-1)^{n} *n,\)...
En algunas sucesiones es posible expresar cada termino a partir del anterior, por ejemplo, si se trata de la sucesión \(A(n)=3, 5, 7, 9,\) … Ella puede expresarse también como:
\(A(n)={3\,si\,n=1 \atop a_n=a_{n-1}+2 \,si\, n<1}\)
Si para expresar una sucesión se indica el valor de uno o más de sus primeros términos y luego se expresa el término n-ésimo a partir de uno o mas de los anteriores, se dice que la sucesión se ha definido por recurrencia.
Definamos la sucesión \(G(n)={5, {5\over 2},{5\over 4},{5 \over 8},\)… por recurrencia.
La sucesión \(G(n)={5, {5 \over 2}, {5 \over 4}, {5 \over 8},\) … puede definirse por recurrencia como:
\(G(n)={5 \,si\,n=1\atop a_n={1 \over 2} a_{n-1}\,Si\,n>1}\)
En las sucesiones que hemos descrito en los ejemplos anteriores se observa:
– En la sucesión \({3, 5, 7, 9,\)… los elementos aumentan a medida que aumenta su orden en la secuencia, es decir \(n\). Esta sucesión se dice que crece.
Una sucesión \({a_n}\) se dice es creciente si para todo valor de \(n\) se cumple que \(a_n<a_{n+1}\), es decir, cuando toma valores en los enteros positivos, ordenadamente, los términos correspondientes de la sucesión aumentan. Luego,
\(a1<a2<a3<a4<\)...\(<a_{n-1}<\)
En la sucesión \({5 \over 2}, {5 \over 4}, {5 \over 8}\) los elementos disminuyen a medida que aumenta \(n\). Esta sucesión se dice que decrece.
Una sucesión \({a_n}\) se dice que es decreciente si para todo valor de n se cumple que \(a_n>a_{n+1}\), es decir, cuando n varia ordenadamente tomando valores en los enteros
positivos, los términos correspondientes de la sucesión disminuyen. Esto es:
\(a1>a2>a3>a4>\)...\(>a_{n+1}>\)...
En la sucesión \({-1, 2, -3 , 4, -5,\) … los términos aumentan algunas veces y disminuyen otras, respecto al anterior, luego no puede decirse que aumentan o disminuyen, a medida que aumenta n. Esta sucesión no es creciente ni decreciente.
Consideremos una sucesión cualquiera \(S(n)\), por ejemplo, \(S(n)=Sn={1,3,5,7,9,}\).... A partir de sus términos es posible formar una nueva sucesión {∑(n)} de modo que:
∑1 = 1; ∑(2) = 1 +3 = 4;
∑3 = 1+3+5 = 9;
∑(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + Sn
La sucesión que ese obtiene de esta manera se llama serie asociada a la sucesión S(n) que indica ∑Sn, cuyos elementos son \(1, 4, 9, 16,\) …\(,n^{2},\) …
\(\sum _{j=1}^n\;S_n\)
El termino n-ésimo de la serie ∑ Sn , es decir, la suma \(S1+S2+S3+S4+\)...\(Sn\)$, se escribe por medio del símbolo ∑ de la figura anterior, que se lee “suma desde \(j=1\) hasta \(j=n\) de \(Sn\)”. El signo ∑ se conoce como sumatoria.
Escribamos la suma \(\sum_{j=1}^5 \; 2^{j+1}\) y calculémosla.
\(\sum_{j=1}^5 \; 2^{j+1} =2^{1+1}+2^{2+1}+2^{3+1}+2^{4+1}+2^{5+1}\)
\(=2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}\)
\(=4+8+16+32+64=124\)
PREGUNTA: Encuentre los 5 primeros términos de la sucesión \({(-1)^{n} *{ 1\over n}}\)