PROGRESIONES ARITMÉTICAS.
Consideremos un punto \(A\) que esta sobre una recta, de tal modo que su distancia dirigida al origen es \(5u\)
El punto se mueve sobre la recta dando “saltos” de longitud \(3u\) y alejándose siempre del origen, es decir, en sentido positivo, como lo muestra la figura.
Las cuatro primeras posiciones del punto \(A\) sobre la recta son:
\(1a\).Posición:\(a1=5,\)
\(2a\).Posición:\(a2=5+3=8,\)
\(3a\).Posición:\(a3=8+3=11,\)
\(4a\).Posición:\(a4=11+3=14\).
De esta forma se logra una secuencia de números para la cual cada elemento se obtiene sumando \(3\) al anterior.
Si se supone que el punto se mueve indefinidamente, la sucesión de sus posiciones es: \(5, 8, 14, 17,\) …
Una sucesión en la que cada término es igual al anterior mas un valor constante se llama progresión aritmética. En forma equivalente, una progresión aritmética es una sucesión en la
cual la diferencia de cada termino, con el anterior es constante, esto es \(a_n-a_{n-1}=d\), con \(d\) constante. El valor d se llama la razón de la sucesión aritmética.
Veamos cómo hallar una expresión para el término general de una sucesión que es una progresión aritmética.
– En primer lugar, como la diferencia entre los valores consecutivos \(a_n-a_{n-1}\) de esta sucesión es siempre la longitud del “salto”, es decir \(3\), tenemos \(a_n-a_{n-1}=3\) ,
entonces \(a_n=a_{n-1}+3\) y de esa manera queda nombrada la sucesión por recurrencia.
– Encontramos una expresión para el n-ésimo término utilizando un cuadro como el siguiente:
El n-ésimo termino queda expresado como \(a_n=5+(n-1)*3\)
– Si d es la diferencia constante entre \(a_n\) y \(a_{n-1}\), se concluye que el n-ésimo término de la sucesión puede escribirse como:
\(a_n=a{n-1}+d\)o tambien como \(a_n=a1+(n-1)*d\)
En una progresión aritmética el el n-ésimo término an se puede expresar a partir del termino anterior como \(a_n=a_{n-1}+d\) o también como \(a_n=a1+(n-1)*d\), en donde \(a1\) es el primer termino de la progresión y \(d\) es la diferencia constante o razón de la progresión.
Ejemplo:
La sucesión cuyos seis primeros términos son: \(2.5, 4.5, 6.5, 8.5, 10.5, 12.5,\) es una sucesión aritmética; hallemos la razón de la progresión y el vigésimo término.
La diferencia común o razón es \(2\), porque \(6.5-4.5=2.0\,o\,10.5-8.5=2.0\).
El vigésimo término se puede calcular usando la expresión \(a_n=a1+(n-1)*d\), en donde \(a1=2,5\,n=20\, y\, d=2\).
\(A_{20}=2,5+(20-1)*2=2.5+38=40.5\).
Observemos que la sucesión es creciente.
Consideremos la sucesión \(10, 8.5, 7.0, 5.5, 4.0, 2.5, 1,\) … Hallemos la razón de la progresión y el decimotercer término.
-La diferencia de cada término con el anterior es \(-1,5\).
-El decimotercer término es \(a_{13}=10+(13-1)*(-1.5)\).
\(a_{13}=10+12*(-1.5)\).
\(=10-18=-8\)
PREGUNTA: Encuentrar el noveno término de la sucesión \(-3, 0, 3, 6, 9,\) ...\((a_n=a_{n-1}+3)\);