M.U.A.- CAÍDA LIBRE
Un buen ejemplo de movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de caída libre. La experiencia muestra que todos los cuerpos en el vacío que caen o suben se ven afectados por la aceleración de la gravedad, la cual es aproximadamente a \(9,8 m/seg^2\) (para facilitar el cálculo trabajaremos con \(g=10 m/seg^2\)), y está dirigida hacia el centro de la tierra.
Por lo tanto, para el estudio del movimiento vertical de un cuerpo en el vacío, un solo conjunto de ecuaciones es suficiente y nos indica a cada instante, la posición y la velocidad del cuerpo.
Ecuaciones cinemáticas: \(x=x_i+v_it+\frac{1}{2}at^2\) \(v_f=v_i+at\) \(v^2_f=v^2_i+2ax\)
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado también puede darse en el plano horizontal. El siguiente aplicativo muestra un automóvil noviendose con aceleración constante. Puede cambiar los valores de posición inicial, velocidad iniciales y aceleración del auto. Lo puede encontrar en la dirección: http://www.walter-fendt.de/ph14s/acceleration_s.htm.
Veamos algunos ejemplos de aplicación cuando el movimiento se da en caída libre:EJEMPLO 1: Se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad de \(40\ m/seg\). Para todos los ejercicios tomaremos la aceleración de la gravedad \(10\ m/seg^2\) y dirigida hacia abajo.
Calcular:
a) ¿A que altura sube la piedra?Escogemos el eje \(x\) dirigido hacia arriba, por lo tanto la velocidad inicial es \(v_i=40\ m/seg\) mientras que la aceleración es \(a=-10\ m/seg^2\), negativa porque va en el sentido del eje \(x\) negativo.
Tomando \(x_i\ =\ 0\), ya que la piedra inicia el movimiento desde el origen, las ecuaciones cinemáticas se reducen a:
\(x=v_it+\frac{1}{2}at^2\)
\(v_f=v_i+at\)\(v^2_f=v^2_i+2ax\)
En el punto más alto, la velocidad de la piedra es \(0\), por lo tanto \(v_f=0\).\(v_f^2=v^2_i+2ax\)\(0=40^2+2(-10)x\)\(x=80\, m\) ésta es la altura o el desplazamiento que realizó la piedra.
b) ¿Qué tiempo tardó para llegar al punto más alto?\(v_f=v_i+at\)\(0=40+(-10)t\)\(t=4\, seg\)
c) Al cabo de dos segundos, ¿cuál es la posición de la piedra?\(x=\frac{1}{2}at^2+v_it\)\(x=\frac{1}{2}(-10)2^2+(40)*2\)\(x = 60\, m\)
d) Al cabo de dos segundos ¿cuál es la velocidad?\(v_f=at+v_i\)\(v_f=-10*2+40\)\(v_f=20\, m/seg\)
e) Al cabo de seis segundos, ¿cuál es la posición?\(x=\frac{1}{2}at^2+v_it\)\(x=\frac{1}{2}(-10)6^2+(40)6\)\(x =60\, m\)
La posición es la misma que en c). Esto nos indica que la piedra después de pasar por la altura máxima, cae regresando a su posición inicial.
f) Al cabo de seis segundos ¿cuál es la velocidad?
\(v_f=at+v_it\)\(x=\frac{1}{2}(-10)6+40\)\(v_f=-20\, m/seg\)
La velocidad es dirigida hacia abajo.
EJEMPLO 2: Desde la cima de una torre se deja caer, sin velocidad inicial, una piedra. ¿Cuáles son las ecuaciones cinemáticas del movimiento?
Aquí, es preferible escoger el eje \(x\) hacia abajo; por tanto la aceleración de la gravedad \(g\) es positiva y vale \(+\, 10 m/seg^2\).
Inicialmente la piedra se encuentra en el origen \(x_i=0\)y en reposo \(v_i=0\). Las ecuaciones cinemáticas son:
\(x=\frac{1}{2}at^2\)\(v_f=at\)\(v^2_f=2ax\)
Reemplazando los valores conocidos tenemos las ecuaciones cinemáticas que nos solicita el problema.\(x=\frac{1}{2}10t^2\)\(v_f=10t\)\(v_f^2=2(10)x\)
Si proponemos que la altura de la torre es \(x=20\, m\), entonces podemos reemplazar y encontrar los valores de velocidad de llegada al suelo \(v_f=20m/seg\) y el tiempo de la caída \(t=2\, seg\).
Cuando un vector, con aceleración \(a\) ó \(g\) ó velocidad inicial \(v_i\) tiene la misma dirección de la trayectoria, su signo es positivo. Cuando el vector tiene la dirección contraria a la trayectoria, su signo es negativo.
EJEMPLO 3: Se lanza una piedra hacia abajo con una velocidad de \(40\ m/seg\). Escribir las ecuaciones del movimiento, tomando el eje \(x\) hacia abajo.
Con esta dirección del eje \(x\), la aceleración \(g\) y la velocidad inicial son positivas; las ecuaciones son:
\(x=\frac{1}{2}10t^2+40t\)\(v_f=10t+40\)\(v_f^2=40+2(10)x\)
Si proponemos un tiempo de caída de \(2\) segundos, las ecuaciones anteriores nos dan la posición \(x=100\ m\) y la velocidad final de la piedra \(v_f=60\ m/seg\).
En el siguiente aplicativo puede modificar la posición inicial de una pelota que se deja caer hasta el suelo, para observar las gráficas de caída libre. Encontrará que \(e\) será la distancia recorrida, \(y\) es la altura máxima, \(v\) es la velocidad y \(g\) es la aceleración que será la gravedad en este caso. Los signos negativos de \(v\) y \(g\) no los tenga en cuenta en este ejercicio porque sólo son para indicar que los vectores están dirigidos hacia el suelo:
PULSE AQUÍ PARA ABRIR LA APLICACIÓN
La aplicación se puede encontrar en la dirección: http://www.educaplus.org/play-302-Gr%C3%A1ficas-de-la-ca%C3%ADda-libre.html
PREGUNTA: En el problema \(1\), sobre el lanzamiento de la piedra. ¿Cuál sería la posición de la piedra, al cabo de \(10\) segundos?