DESIGUALDADES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
A cada pasajero de cierta aerolínea le permiten llevar un equipaje cuyo peso no exceda \(20 Kg\). Teresa lleva dos maletas, una de las cuales pesa \(4 Kg\) más que la otra. ¿Cuál es el mayor peso que puede tener la maleta más liviana de Teresa?
La expresión "el peso de las maletas no puede exceder de \(20 Kg\)" es una desigualdad.
Una desigualdad es una relación (comparación) entre dos números o expresiones. Se usan los signos: \(<\) menor que, \(>\) mayor que, \(\leq\) menor o igual que, \(\geq\) mayor o igual que, para establecer la comparación.
La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los números que hagan verdadera la afirmación dada en la relación.
A pesar de que el problema enunciado difiere de los que veníamos trabajando, porque para su solución no se establece una igualdad, sino una desigualdad, y el conjunto de valores que forma la solución no es unitario, los pasos que se siguen para despejar la incógnita son similares. Se trasforma la desigualdad en desigualdades equivalentes hasta llegar a una que nos permita encontrar el conjunto solución.
¿Cómo se resuelve una inecuación?
Para poder resolver una inecuación, debemos tener en cuenta algunas propiedades de las desigualdades:
Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta el mismo número, la desigualdad no cambia de sentido.
Si \(a<b\), entonces \(a+c< b+c\) y \(a-c<b-c\)
Si \(a>b\), entonces \(a+c > b+c\) y \( a-c>b-c\).
Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.
Si \(a<b\) , entonces \(a \time c < b \time c\); si \(c > 0\).
Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Si \(a<b \), entonces \(a \time c > b \time c\); si \(c < 0\).
Teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades, ahora sí resolvamos el problema.
1. Entender el problema:
2. Generar y llevar a cabo un plan:
3. Escribo la desigualdad y la resuelvo:
4. Hallar la respuesta y verificar:
La maleta más liviana pesa como máximo \(8 Kg\). Por tanto, el peso de la otra maleta es \(12 Kg\) como máximo. De este modo el peso de las maletas no excede los \(20 Kg\) exigidos.
El peso de la maleta más liviana no es único. existen infinidad de valores que pueden asignarse y que constituyen solución del problema. Como no es posible verificar todos los valores, probemos con algunos de ellos.
EJEMPLO 1: si tomamos para \(x\) el \(\frac{5}{3}\) y lo reemplazamos en la relación inicial, se tiene: \(\frac{5}{3}+(\frac{5}{3}+4)=\frac{10}{3}+4=\frac{22}{3}\,\,\, y \,\,\frac{22}{3}<20\).
La solución de una desigualdad puede representarse gráficamente sobre la recta numérica.
Ejemplo 2: Solucionemos y grafiquemos la desigualdad \(7k-2<19\)
Cualquier número menor que \(3\) es la solución.
La representación de la solución en la recta numérica la observamos en la figura:
PREGUNTA: Al resolver la desigualdad \(8-3j<5\), el resultado es: