EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS
Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.
Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:
\(\frac{4xy- \left( \frac{3}{x} \right)}{\sqrt{y-1}}\)
\(x^{3}-5x+\frac{6}{\sqrt{x}}\)
Notemos otros ejemplos:
Si “a”, “b” y “c” son números reales, para cada expresión verbal encontremos su respectiva expresión algebraica.
Observemos una aplicación de la expresión algebraica.
Juan Manuel desea comprar un discman. Después de las averiguaciones que hizo, se enteró de que el precio es superior a $100.000, pero inferior a $150.000. El papá prometió colaborarle con la mitad del valor. Juan Manuel tiene ahorrado la cuarta parte; si la mamá le regala $20.000, ¿cuánto dinero reúne Juan Manuel?
El enunciado anterior tiene mucha información que podemos analizar con más cuidado, si usamos el lenguaje de la matemática para expresarlo.
Si el precio desconocido del discman se representa con la letra “x”, las diversas situaciones enunciadas en el problema también se puede expresar con ella y con números, tal como lo muestra la tabla:
La letra que usamos para representar la cantidad desconocida está combinada con números a través de las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división. Esas operaciones, junto con la potenciación y la radicación, son llamadas operaciones algebraicas.
Para entender un poco mejor lo que es un polinomio, es de vital importancia tener conocimiento sobre la definición de “TÉRMINO”.
Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo \(+\) o \(-\). Así, \(a\), \(3b\), \(4xy\), \(\frac{5a}{4x}\) son términos.
POLINOMIO: Es una expresión algebraica que consta más de un término, como \(a+b\), \(a+x-y\), \(x^3+2x^2+x+7\).
Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término, como \(3a\), \(-6c\), \(\frac{x^2y}{4n^3}\).
Binomio: Es un polinomio que costa de dos términos, como: \(a+b\), \(x-y\), \(\frac{a^2}{4 }+ \frac{5nx^4}{7a^5}\)
Trinomio: Es un polinomio que consta de tres término, como: \(a+c+x\), \(x^3-4x^2+3x+5\), \(6x^2+3y^3- \frac{4z}{3}\).
En general un polinomio en una variable es una expresión de la forma \(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_nx^n\), con \(n\in N\). Si \(a_n\neq 0\), se dice que el grado del polinomio es \(n\).
Término Semejantes:
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
En la expresión \(3x^5+\frac{2}{7}x^5-\frac{9}{14}x^5\) se ha indicado una suma algebraica de términos semejantes, la cual puede simplificarse usando la propiedad distributiva, así:
\(3x^5+\frac{2}{7}x^5-\frac{9}{14}x^5=(3+\frac{2}{7}-\frac{9}{14})x^5=(\frac{42}{14}+\frac{4}{14}-\frac{9}{14})x^5=\frac{37}{14}x^5\)
De este modo la expresión se ha reducido a un solo monomio.
Para adicionar términos semejantes se adicionan algebraicamente sus coeficientes y el resultado se multiplica por la parte literal. Este proceso se denomina reducción de términos semejantes.
Grado de un monomio
Los monomios \(4t^2\, y\,\frac{1}{2}t^8\\) no son semejantes a pesar de tener la misma variable.
Se diferencian no sólo por el coeficiente, sino por el exponente de la variable. En el primer caso el exponente es \(5\), en el segundo el exponente es \(8\); por esta razón se dice que el grado del primer monomio es \(5\) y del segundo es \(8\).
Cuando un monomio tiene varias variables, su grado corresponde a la suma de los exponentes de las variables que lo forman. Así, \(-\frac{3}{8}x^4y^3\) es un monomio de grado \(7\\).
Se llama grado de un monomio al exponente de la variable si el monomio tiene una sola variable, o la suma de los exponentes de las variables cuando el monomio cuenta con varias variables. El coeficiente del monomio debe ser distinto de cero.
Polinomio en una variable
Las expresiones \(4x^3+3x-9x^4\) y \(\frac{3}{8}y^6-2y+7y^5-2\) indican una suma de monomios con la misma variable.
Una suma algebraica de varios monomios se denomina polinomio. Cada monomio constituye un término del polinomio.
\(4x^3+3x-9x^4\) es un polinomio en la variable \(x\) de tres términos y \(\frac{3}{8}y^6-2y+7y^5-2\) es un polinomio en la variable y que tiene cuatro términos. Además el término que no contiene y, en este caso \(-2\), decimos que es de grado cero y se llama término independiente o constante.
Cuando los monomios que forma el polinomio tienen más de una variable como \(4xt-\frac {1}{2}x^3t^2+6x^2t^4\), se tiene un polinomio en las variables \(x\) y \(t\).
Ejemplo 1: \(3xy^2-7x^3y^3+2x^4y^5\) es un polinomio en las variables \(x\) y \(y\). El grado del polinomio es \(9\).
Cuando los términos de un polinomio se escriben de modo que sus grados vayan creciendo o decreciendo, se dice que el polinomio está ordenado. Por ejemplo \(\frac{1}{8}x-\frac{5}{3}x^2-\frac{9}{4}x^6\) está ordenado respecto a las potencias creciente de \(x\); \(-12y^7+5y^3-9y^2+y-2\) está ordenado respecto a las potencias decrecientes de \(y\).
El polinomio \(4-2z+\frac{3}{4}z^2-8z^3-\frac{7}{5}z^4+7z^5\) es un polinomio ordenado, en donde aparece un término de cada grado desde cero hasta cinco. Por esto se llama polinomio completo de grado 5. Si al polinomio le falta alguno de sus términos, se le llama polinomio incompleto.
\(\frac{1}{3}x^6+2x^3-x^2+6\) es un polinomio incompleto de sexto grado.
PREGUNTA: ¿La expresión algebraica y grado del valor de 5 balones, si un balón cuesta $ 2k^2+6k, es:$$