FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.
Así, \(\frac{a}{b}\) es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión \(\color{blue}a(dividendo)\) entre la expresión
\(\color{red} b(divisor)\).
El dividendo \(a\) se llama numerador de la fracción algebraica, y el divisor \(b\), denominador. El numerador y el denominador
son los términos de la fracción.
- Expresión algebraica entera es la que no tiene denominador literal.
Así, \(a,\,\ x \ + \ y,\,\ m \ - \ n, \ \frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\) son expresiones enteras.
Una expresión entera puede considerarse como una fracción de denominador \(1\).
Así, \(a\ =\ \frac{a}{1},\,\ x\ +\ y=\frac{x+y}{1}\)
- Expresión algebraica mixta es la que consta de parte entera y parte fraccionaria.
Así, \(a\ +\ \frac{b}{c}\,\ y\,\ x\ -\ \frac{3}{x\ -\ a}\) son expresiones mixtas.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS FRACCIONES
1. Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la fracción queda multiplicada en el primer caso y dividida en el segundo por dicha cantidad.
2. Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo caso por la dicha cantidad.
3. Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se multiplican o dividen por una misma cantidad, la fracción no se altera.
Signo de la fracción y de sus términos.
En una fracción algebraica hay que considerar tres signos: El signo de la fracción, el signo del numerador y el signo del denominador.
REDUCCIÓN DE FRACCIONES: reducir una fracción algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES : Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí.
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expresión o a su mínima expresión.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TÉRMINOS SEAN MONOMIOS.
REGLA:Se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre sí.
Ejemplo 1: Simplificar \(\frac{4a^{2}b^{5}}{6a^{3}b^{3}m}=\frac{2*1*b^{2}}{3*a*1*m}=\frac{2b^{2}}{3am}\)
En el anterior ejercicio se dividió \(4\) y \(6\) entre \(2\) y se obtuvo \(2\) y \(3\) respectivamente.
\(a^{2}\) y \(a^{3}\) entre \(a^{2}\) y obtuvimos los cocientes anteriormente observados.
Ejemplo 2: Simplificar \(\frac{9x^{3}y^{3}}{36x^{5}y^{6}}\)
\(\frac{9x^{3}y^{3}}{36x^{5}y^{6}}=\frac{1*1*1}{4*x^{2}*y^{3}}\)
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TÉRMINOS SEAN POLINOMIOS.
REGLA: Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.
Ejemplo 3: Simplificar \(\frac{2a^{2}}{4a^{2}\ -\ 4ab}\)
Factorando el denominador se tiene:
\(\frac{2a^{2}}{4a^{2}\ -\ 4ab}=\frac{2a^{2}}{4a(a\ -\ b)}=\frac{a}{2(a\ -\ b)}\)
Ejemplo 4: Simplificar \(\frac{4x^{2}y^{3}}{24x^{3}y^{3}\ -\ 36x^{3}y^{4}}\)
Factorando:
\(\frac{4x^{2}y^{3}}{24x^{3}y^{3}\ -\ 36x^{3}y^{4}}=\frac{4x^{2}y^{3}}{12x^{3}y^{3}(2\ -\ 3y)}\ =\ \frac{1}{3x(2\ -\ 3y)}\)
Ejemplo 5: Simplificar \(\frac{x^{2}\ -\ 5x\ +\ 6}{2ax\ -\ 6a}\)
\(\frac{x^{2} \ - \ 5x+6}{2ax \ -\ 6a}=\frac{(x\ -\ 2)(x\ -\ 3)}{2a(x\ -\ 3)}=\frac{x\ -\ 2}{2a}\)
Ejemplo 6: Simplificar \(\frac{a^{3}\ -\ 25a}{2a^{3}\ -\ 8a^{2}\ -\ 10a}\)
\(\frac{a^{3}\ -\ 25a}{2a^{3}\ -\ 8a^{2}\ -\ 10a}=\frac{a(a^{2}\ -\ 25)}{2a(a^{2}\ +\ 4a\ -\ 5)}=\frac{a\ -\ 5}{2(a\ -\ 1)}\)
Ejemplo 7: Simplifiquemos \(\frac{(b^2\ -\ 10b\ +\ 21)}{(b^2\ -\ 11b\ +\ 28)}\)
Solución:
Factorizamos el numerador: \(b^2\ -\ 10b\ +\ 21\ =\ (b -\ 7)(b\ -\ 3)\)
Factorizamos el denominador: \(b^2\ -\ 11b\ +\ 28=(b\ -\ 7)(b\ -\ 4)\)
Simplificamos la fracción: \(\frac{(b^2\ -\ 10b\ +\ 21)}{(b^2\ -\ 11b\ +\ 28)} \ =\ \frac{(b\ -\ 7)(b\ -\ 3)}{(b\ -\ 7)(b\ -\ 4)} \ =\ \frac{b\ -\ 3}{b\ -\ 4}\)
Es importante anotar que, como no puede dividirse por cero, al factorizar el denominador nos damos cuenta que \(b\neq 7\) y \(b \neq 4\). La expresión \(\frac{b\ -\ 7}{b\ -\ 7}\) es equivalente a \(1\) para todo real diferente a \(7\).
Ejemplo 8: Cuando una partícula se mueve sobre una recta y la aceleración es constante, la velocidad \(v\) está dada por la siguiente fórmula, donde \(v_0\) es la velocidad inicial, \(a\) es la aceleración y \(t\) es el tiempo transcurrido: \(v\ =\ v_0\ +\ at\). Expresamos a \(t\) y a \(v_0\) en términos de las otras variables.
En el caso de \(t\), tenemos:
\(v\ =\ v_0\ +\ at\)
\(v-v_0\ =\ at\) Despejamos el término que contiene a \(t\).
\(\frac{v\ -\ v_0}{a}\ =\ t\) Dividimos ambos lados por el coeficiente de \(t\), suponiendo que la aceleración \(a\) es distinta de cero.
Para \(v_0\), resulta que:
\(v\ -\ at\ =\ v_0\) Restamos \(at\) de ambos lados de la ecuación.
PREGUNTA: ¿Cuál es el resultado de simplificar \(\frac{8a^{3}\ +\ 27}{4a^{2}\ +\ 12a\ +\ 9}\)?