MATEMÁTICAS

 Tal como lo has estudiado en lecciones previas, existen cinco teoremas y postulados que te proporcionan diferentes caminos para probar que dos triángulos son congruentes sin tener que revisar todos los ángulos y lados de ambos. Es importante conocer muy bien estas cinco reglas, de manera que puedas utilizarlas en aplicaciones prácticas

Nombre	Partes congruentes correspondientes	¿Demuestra congruencia?
SSS	Tres lados	Sí
SAS	Dos lados y el ángulo entre ambos	Sí
ASA	Dos ángulos y el lado entre ambos	Sí
AAS	Dos ángulos y un lado que no está entre ambos	Sí
HL	Una hipotenusa y un cateto en un triángulo rectángulo	Sí
AAA	Tres ángulos	No—se creará un triángulo similar, pero no de igual tamaño.
SSA	Dos lados y un ángulo que no está entre ambos	No—esto puede crear más de un triángulo distinto.

Cuando tengas dudas, piensa en los modelos que creamos. Si puedes construir un único triángulo a partir de las restricciones dadas, entonces puedes demostrar congruencia. Si puedes crear más de un triángulo con la información proporcionada, entonces no puedes probar congruencia.

Ejemplo 1

¿Cuál regla puede probar que los triángulos que siguen son congruentes?

FIGURA 1. Triángulos

A. SSS

B. SSA

C. ASA

D. AAS

Los dos triángulos en la figura tienen dos pares de ángulos congruentes y un par de lados lados congruentes correspondientes. Así, el postulado de congruencia que elijas debe tener dos A′s (por los ángulos) y una S (por el lado). Por consiguiente, puedes eliminar las opciones A y B. Ahora, para decidir entre las opciones C y D, necesitas identificar dónde se ubica el lado con relación a los ángulos dados. En este caso debe ser adyacente a un ángulo, pero no debe estar entre ambos. Por lo tanto, puedes demostrar congruencia con la regla AAS. Entonces, la respuesta correcta es D.

Demostrando que una o más partes son congruentes

Se nos facilita el probar o determinar congruencia cuando toda la información de identificación importante es conocida. Pero algunas veces tendrás que identificar partes congruentes por ti mismo. Ya has practicado esto de algunas maneras. Por ejemplo, cuando estuviste probando la congruencia SSS, utilizaste la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de los lados en una cuadrícula coordenada. Como repaso, la fórmula de la distancia se muestra a continuación.

Puedes usar la fórmula de la distancia siempre que examines formas en una cuadrícula coordenada.

Cuando realizabas pruebas de flujo y de dos columnas, utilizabas también la propiedad reflexiva de la congruencia. Esta propiedad establece que cualquier segmente o ángulo es congruente consigo mismo. Aunque esto pueda resultar obvio, puede ser muy útil al realizar demostraciones (pruebas), tal como lo observaste en dichos ejemplos.

Puedes sentirte tentado a usar tu regla y transportador para verificar si dos triángulos son congruentes. Sin embargo, este método no necesariamente da resultados correctos dado que no todas las imágenes se dibujan a escala.

Ejemplo 2

¿Cómo podrías demostrar que △ABC≅△DEC en el diagrama de abajo?

FIGURA 2. Ejemplo

Podemos observar inmediatamente que BC¯¯¯¯¯≅CE¯¯¯¯¯ and AC¯¯¯¯¯≅CD¯¯¯¯¯¯. Por lo tanto, podríamos utilizar las reglas SSS o SAS para demostrar que los triángulos son congruentes. Sin embargo, para usar la regla SSS, necesitaríamos que AB¯¯¯¯¯≅DE¯¯¯¯¯¯y esto no puede demostrarse inmediatamente. ¿Podemos demostrar que dos de los ángulos son congruentes? Nota que ∠BCA y que ∠ECD son '’ángulos opuestos por el vértice (ángulos no adyacentes formados por la intersección de dos líneas rectas— es decir, ángulos que se ubican en las secciones opuestas de la intersección.).

El teorema de los ángulos opuestos por el vértice establece que todos los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Así, esto nos dice que ∠BCA≅∠ECD. Finalmente, con toda esta información, puedes corroborar que△ABC≅△DEC por el postulado SAS.

Determinación de distancias

Una forma de aplicar el concepto de triángulos congruentes consiste en determinar distancias en casos concretos de la vida cotidiana —usualmente, cuando se utiliza un mapa o un diagrama como modelo.

Cuando utilices triángulos congruentes para identificar distancias, debes asegurarte de equiparar los lados de dos triángulos que sean correspondientes. De hecho el error más común que se comete en este tipo de problemas es equiparar dos lados que no son correspondientes

Ejemplo 3

El mapa siguiente muestra 5 ciudades diferentes. La ciudad de Meridian debe su nombre al hecho de que se ubica exactamente a mitad de camino entre dos pares de ciudades: dos de llas son Camden y Grenata, mientras que las otras son Lowell y Morsetown.

FIGURA 3. Ejemplo

Haciendo uso de la información proporcionada en el mapa, ¿Cuál es la distancia entre Camden y Lowell?

El primer paso en este problema es identificar si los triángulos marcados son, o no, congruentes. Puesto que tu sabes que la distancia de Camdem a Meridian es la misma que de Meridianb a Grenata, esos lados son congruentes. De modo similar, dado que la distancia entre Lowell y Meridian es la misma que entre Meridian y Morsetown, estos otros dos lados son, a su vez, un par congruente. Debe notarse también que los ángulos que subtienden estas líneas son también congruentes porque son ángulos opuestos por el vértice.

FIGURA 4. Ejemplo

Así, por el postulado SAS, estos dos triángulos son congruentes. Este hecho te permite encontrar la distancia entre Camden y Lowell al identificar el lado correspondiente en el otro triángulo. Puede observarse que el lado que conecta Camden y Lowell es correspondiente con el que conecta Morsetown y Grenata; esto debido a que cada uno de estos dos lados es opuesto al ángulo opuesto por el vértice correspondiente. Además, dado que los triángulos son congruentes, estos lados correspondientes son, a su vez, congruentes entre sí. Por lo tanto, la distancia entre Camden y Lowell es de cinco millas.

Este uso de la definición de triángulos congruentes es una de las herramientas más poderosas que utilizarás en la clase de geometría. A menudo es abreviada comoCPCTC, cuyo significado es, en Inglés, Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent; es decir partes congruentes de triángulos congruentes son, a su vez, congruentes

Construcciones

Otra parte importante de la geometría es la creación de figuras geométricas mediante construcciones. Una construcción es un dibujo hecho únicamente con regla y compás—puedes visualizar una construcción como un juego especial de geometría en el que se hacen figuras exclusivamente con las herramientas mencionadas. Te sorprendería cuántas formas pueden crearse de esta manera.

Ejemplo 4

Utiliza un compás y una regla para construir la mediatriz del segmento que sigue.

Comienza por ubicar la punta de tu compás en un extremo del segmento y traza un arco cuyo radio tenga la misma longitud del segmento.

FIGURA 5. Demostración

Repite este procedimiento en el extremo opuesto.

FIGURA 6. Demostración

Ahora dibuja una línea recta a través de los dos puntos de intersección de los arcos. Esta línea constituye la mediatriz del segmento.

FIGURA 7. Demostración

Ahora dibuja segmentos que conecten los puntos extremos del bisector (aquellos donde se intersectan los arcos), con los extremos del segmento original.

FIGURA 8. Demostración

Sabiendo que el punto central, M, es el punto medio de los dos segmentos rectilíneos (el vertical, correspondiente a la mediatriz y el horizontal, correspondiente al segmento original) y sabiendo, además que todos los ángulos formados alrededor del punto M son ángulos rectos, puedes probar, por el postulado SAS, que los cuatro triángulos creados son congruentes.

PREGUNTA: Según los siguientes triángulos  estos son congruentes según el postulado: