SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Y FÓRMULA CUADRÁTICA.
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:
\(f(x)= a^{2}+bx+c\)
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
Constantemente encontramos casos en los que se puede hallar el valor de la magnitud desconocida:
En general si \(t>0\) y \(x^{2}=t\), existen dos números reales que satisfacen la ecuación; estos son: \(x=\sqrt{t}\) o \(x=-\sqrt{t}\). En los ejemplos anteriores, solo es solución el numero positivo, porque las variables denotan longitudes. Si \(t=0\) y \(x^{2}=t\), entonces \(x=0\). Si \(t<0\), no existe un numero real tal que \(x^2=t\), es decir, no existe la raíz cuadrada de números negativos.
Resolvamos, si es posible, la ecuación \(4(3x+1)^{2}+43=7\).
Veamos: \(4(3x+1)^{2}+43=7\)
\(4(3x+1)^{2}=7-43\)
\(4(3x+1)^{2=-36}\)
\((3x+1)^{2}=-9\)
La ecuación no tiene solución en los reales, porque ningún número real, elevado al cuadrado, da como resultado -9.
No toda ecuación cuadrática tiene la forma \((x +/- a)^{2}=b\), pero se pude transformar y llevar a dicha forma, por medio del método llamado “completar el cuadrado”.
Recordemos el resultado que se obtiene al desarrollar el cuadrado de un binomio:
\(a. (x+7)^{2}= x^{2}+14x+49\) \(b. (x-8)^{2}=x^{2}-16x+64\)
\(({14\over2})^{2}=49\) \(({16\over2})^{2}=64\)
\(c.(x-{3 \over2})^{2}=x^{2}-3x+{9\over4}\)
En general \((x+t)^{2}=x^{2}+2tx+t^{2}\)
\(({2t\over2})^{2}=t\)
En cada caso el coeficiente de \(x^{2}\) es \(1\) y el termino constante corresponde al cuadrado de la mitad del coeficiente de \(x\).
Método de Completar el cuadrado.
Si tenemos la expresión \(x^{2}+px\), observamos que hace falta el término constante para que corresponda al desarrollo del cuadrado de un binomio.
Entonces la expresión dada podemos transformarla.
\(x^{2}+px+\)?
Paso 1.Hallemos la mitad del coeficiente de \(x: {p\over2}\).
Paso 2.Obtengamos el cuadrado del resultado hallado en e lapso anterior: \(({p\over2})^{2}\).
Paso 3.Adicionemos la expresión obtenida en el paso 2 a la expresión \(x^{2}+px\) y factoricemos:
\(x^{2}+px+({p\over2})^{2}=(x+({p\over2})^{2})\)
Ejemplo:
Completemos el cuadrado en
\(a. x^{2}-18x\) y \(b. x^{2}+15x\)
Paso 1.\({-18\over2}=-9\) Paso 1.\(({15\over2})\)
Paso 2. \((-9)^{2}=81\) Paso 2.\(({15\over2})^{2}={225\over4}\)
Paso 3. \(x^{2}-18x+81=(x-9)^{2}\) Paso 3. \(x^{2}+15x+{225\over4}=(x+{15\over2}^{2})\)
Solucionemos la ecuación \(x^{2}-15x-14=0\) completando el cuadrado.
La ecuación también podemos escribirla así: \(x^{2}+5x=14\). De esta forma completamos el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación, asegurándonos de mantener siempre al igualdad.
\(x^{2}+5x+({5\over2})^{2}=14+({5\over2})^{2}\)
\(x^{2}+5x+{25\over4}=14+{25\over4}\)
\(x+({5\over2})^{2}=56+{25\over4}={81\over4}=\)
\(x+({5\over2})^{2}=+/-\sqrt{{81 \over4}}\)
\(x+{5\over2}=+/-{9\over2}\)
\(x=-{5\over2}+{9\over2}\,o\, x=-{5\over2}-{9\over2}\)
\(x=-7\,o\,x=2\)
Por lo tanto el conjunto solución es {-7,2}.
Formula Cuadrática:
Toda expresión de la forma \(ax^{2}+bx+c=0\) es una ecuación de segundo grado con una incógnita. Los coeficientes \(a,b,\, y\, c\) son números reales, positivos o negativos. Se requiere que a sea diferente de cero para que la ecuación sea de segundo grado; los coeficientes \(b\) y \(c\) pueden ser 0.
Solucionemos la ecuación cuadrática \(ax^{2}+bx+c=0\) completando el cuadrado.
\(ax^{2}+bx+c=0\)
\(ax^{2}+bx=-c\)
\(x^{2}+({b\over a}x=-{c\over a}\)
\(x^{2}+({b\over a})x+({b\over 2a})^{2}=-{c\over a}+({b\over 2a})^{2}\)
\((x+({b\over 2a}))^{2}=(-{c\over a})+({b^{2} \over 4a^{2})\)
\((x+({b\over 2a}))^{2}=({-4ac+b^{2}\over 4a^{2}})={b^{2}-4ac\over 4a^{2}\)
\(x+({b\over a})=+/-\sqrt{{b^{2}-4ac\over 4a^{2}}}\)
\(x={-{b\over a}+/-{\sqrt{b^{2}-4a}\over 2a}}\)
si \(b^{2}-4ac\geq0\)
\(x={-b+/- \sqrt{b^{2}-4a}\over 2ac}\) donde \(b^{2}-4ac\) es llamado discriminante.
La anterior expresión hallada producto de completar el cuadrado, se conoce con el nombre de fórmula cuadrática. Esta nos da las raíces de la ecuación cuadrática \(ax^{2}+bx+c=0\) en términos de los coeficientes \(a,\, b\,,c\).
La ecuación cuadrática \(ax^{2}+bx+c=0\) tiene dos soluciones que corresponden a números reales, cuando \(b^{2}-4ac>0\) \(a \not 0\). Tales soluciones son:
\(x1=x={-b+\sqrt{b^{2}-4a}\over 2a}\)
\(x2=x={-b-\sqrt{b^{2}-4a}\over 2a}\)
Si \(b^{2}-4ac=0\), las dos soluciones coinciden. Se tiene entonces:
\(x={-b+/-\sqrt{b^{2}-4ac}\over 2a}=-{b+/-0\over 2a}={-b\over 2a}\)
Si \(b^{2}-4ac<0\) la ecuación cuadrática no tiene solución en el conjunto de los números reales.
Hallemos la solución de la ecuación \(9x^{2}-4x-5=0\) usando al formula cuadrática:
En este caso se tiene: \(a=9,b=-4,c=-5\).
Como \(x={-b+/-\sqrt{b^{2}-4ac}\over 2a}\),
para los valores dados queda:
\(x={-(-4)+/-\sqrt{(-4)^{2}-4(9)(-5)}\over2(9)}\)
\(x={-(-4)+/-\sqrt{16+180}\over18}\)
\(x={4+/-\sqrt{196}\over18}\)
\(x={4+/-14\over18}\)
\(x={4+14\over18}=1\,x={4-14\over18}={-5\over9}\)
El conjunto solución de la ecuación es : \(({ -5 \over 9 },1)\).
PREGUNTA: ¿Cuáles son las posibles soluciones de la ecuación \(x^{2}-5x+6\)?