GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Y PROBLEMAS
Comencemos por analizar la gráfica de la función \(f\) definida por la ecuación:
\(f(x)= x^{2}-4x+3\)
Hagamos una tabla de valores y hallemos las coordenadas de algunos de los puntos de la gráfica de la función: \(y= x^{2}-4x+3\)
\(y-3=x^{2}-4x\)
\(y-3+4=x^{2}-4x+4\)
\(y+1=(x-2)^{2}\)
\(y=(x-2)^{2}-1\)
El único valor de \(x\) que no tiene otro valor de el mismo valor para y es \(x\ =\ 2\). Además como \((x-2)^{2} \geq 0\). Para todo valor de \(x\), entonces \((x-2)^{2} \ -\ 1\geq-1\).Eso significa que el valor mínimo para \(y -1\), que se obtiene cuando \(x\ =\ 2\).
Teniendo en cuenta el análisis anterior, podemos hacer un bosquejo de la gráfica como se hizo anteriormente.
La parábola de la función \(f(x)=x^{2}-4x+3\) es cóncava hacia arriba porque \(a \geq 1\) y el punto de coordenadas \((2,-1)\) es el punto mínimo que corresponde al vértice. La recta vertical de vértice \(x\ =\ 2\) se llama eje de simetría de la parábola. El punto de coordenadas \((0,3)\) es el \(y-intersecto\) y los puntos de coordenadas \((1,0)\) y \((3,0)\) son los
\(x\) intersecto. Notemos que las abscisas de estos puntos, es decir 1 y 3, son las soluciones de la ecuación \(f(x)= x^{2}\ \ -4x\ +\ 3\ =\ 0\).
Como anotamos anteriormente, todos los puntos de una parábola excepto el vértice, aparecen en pares que tienen la misma ordenada y diferente abscisa; la abscisa en el vértice corresponde al valor medio entre los valores de las abscisas de puntos con igual ordenada.
Si representamos las gráficas de las ecuaciones \(y=x^{2}+6x+5\);\(y=x^{2}+6x\); y \(y=x^{2}+6x-7\):
Las ecuaciones se diferencian entre si sólo por el término independiente. Podemos hallar una expresión para la abscisa del vértice de la parábola \(y\ =\ ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\). Si en la ecuación buscamos puntos donde la curva corte al eje \(x\), es decir, los puntos donde la ordenada vale \(0\), tenemos :
\(ax^{2}+bx=0\)
\(x(ax\ +\ b)\ =\ 0\), luego: \(x=0\) o \(ax\ +\ b\ =0\)
\(ax\ =\ -b\)
\(x\ =\ {-b \over a}\)
El valor medio entre los valores de \(x\) es \({-b \over 2a}\). Por tanto, el valor de la abscisa del vértice de la parábola es \({-b \over 2a}\).
Reemplazando ese valor de \(x\) en la ecuación de la parábola, podemos hallar la ordenada del vértice
\(y\ =\ a(-{b\over 2a})^{2}\ +\ b(-{b\over 2a})\ +\ c\)
\(y\ =\ a({b^{2}\over 4a})\ +\ (-{b\over 4a})\ +\ c\)
\(y\ =\ {b^{2}\over 4a}\ +\ {-2b^{2}\over 4a}+c\)
\(y\ =\ {-b^{2}\over 4a}+c\)
\(y\ =\ c-{b^{2}\over 4a}\)
Por tanto, las coordenadas del vértice de una parábola de ecuación \(y=ax^{2}+bx+c\) son \(({-b\over 2a} \, ,{c-{b^{2} \over 4a})\).
Hemos encontrado dos maneras de hallar las coordenadas del vértice de al parábola, una como aparece en el desarrollo del anterior, y la otra, completando el cuadrado. Cuando se obtiene la expresión de la forma \(y=a(x-h)^{2}+k,(h,k)\) con las coordenadas del vértice.
La ecuación del eje de simetría de la parábola es \(x={-b \over 2a}\).
Ejemplo:
Representemos la curva de la ecuación \(y=x^{2}-7x+11\); hallemos las coordenadas del vértice y de los intersectos con los ejes.
En este caso tenemos \(a=1\), \(b=-7\), \(c=11\).
Coordenadas del vértice: \(v({-((-7)\over2*1}),11-({(-7)^{2} \over 4*1})=({7\over 2},{-5\over4})\)
Intersectos:
– Con el eje y: si \(x=0\), entonces \(y=0^{2}-7*0+11 = 11\).
El intersecto con el eje y es el punto de coordenadas (0,11).
– Con el eje x: si \(y=0\), entonces \(x^{2}-7x+11=0\).
\(x=7+/-\sqrt{(-7)^{2}-4(1)(11)\over2(1)}=7+/- \sqrt{49-44 \over 2}\)
\(x1={7+ \sqrt{5 \over 2} \,,x2 ={7- \sqrt{5 \over 2}\)
Hay dos intersectos con el eje \(x\), \((7-\sqrt{5 \over 2},0), (7+ \sqrt{5 \over 2},0)\), ya que la ecuación \(y=x^{2}-7x+11\) tiene dos raíces reales. El rango de la función es \(({-5\over4},\infty)\).
Problemas con ecuaciones cuadráticas.
De acuerdo a lo visto en la lección anterior, se aplicaran los métodos de solución de la ecuación cuadrática para resolver problemas.
Problema 1:
Los alumnos y el director del curso están organizando una excursión a Santa marta y Cartagena. El costo de la excursión, con todo incluido, es $ 6 000 000; si dejan de asistir 5 personas, cada uno de los restantes excursionistas debe pagar $40 000 más.¿Cuántas personas van a la excursión y cuánto paga cada uno?
Si llamamos \(x\) al número de personas que asiste y \(w\) al precio que debe pagar cada una por la excursión ,podemos indicar los datos del problema:
Teniendo en cuenta el costo de la excursión, establecemos las siguientes ecuaciones:
\(x*w=6.000.000\) 1
\(w={6.000.000 \over x\) 2
\((x-5)(w+40.000)=6.000.000\) 3
Reemplazando el valor de según 2 en la ecuación 3 tenemos :
\((x-5)({6.000.000 \over x}+40.000)=6.000.000\)
\((x-5)({6.000.000+40.000x \over x})=6.000.000\)
Factorizando tenemos:
\(40.000(x-5)({150+x \over x})={40.000(150)x \over x}\)
\((x-5)(150+x)={150x \over x}\)
\(150x+x^{2}-750-5x=150x\)
\(x^{2}-5x-750=0\)
Aplicando la fórmula cuadrática:
\(x={5+/-\sqrt{25+3000}\over 2}={5+/-\sqrt{3025}\over 2}={5+/-55\over 2}\)
\(x1={60\over2}=30;\,x2={-50\over2}=-25\)
La solución \(x=-25\) no tiene sentido para el problema.
Por lo tanto si \(x=30\), entonces \(w={6.000.000 \over 30}=200.000\). Luego, si van 30 personas a la excursión, cada uno paga $ 200.000, pero si van 25 personas, cada una debe pagar 240.000.
Problema 2:
Una moto ha recorrido 300 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa misma distancia en una hora menos, la velocidad debería ser 10 Km más por hora; ¿Cuál es la velocidad de la moto?
Sea v la velocidad de la moto y t el tiempo que necesita para hacer el recorrido; a continuación indiquemos los datos del problema.
Recordando que la distancia recorrida es igual al producto de la velocidad por el tiempo empleado e n recorrerla, tenemos:
-En \(t\) horas:
\(v*t=300\) 1
\(t={300 \over v}\) 2
-En \(t-1\) horas:
\((v+10)(t-1)=300\) 3
Remplazando el valor de \(t\) dado en 2 en al ecuación 3 tenemos:
\((v+10)((300/v)-1)=300\)
\((v+10){300-v \over v}=300\)
\((v+10)(300-v)=300v\)
\(300v - v^{2}+3.000 -10v =300v\)
\(-v^{2}+3.000-10v=0\)
\(v^{2}+10v-3.000=0\)
\(v={-10 +/- \sqrt{100+12.000} \over 2}\)
\(v={-10 +/- \sqrt{12.100} \over 2}={-10 +/- 110 \over 2}\)
\(v1={-10+110\over 2}=50\); \(v1={-10-110\over 2}=-60\).
El valor \(v=-60\) no tiene sentido para este problema.
Si \(v=50\), entonces \(t={300 \over 50}=6\)
La velocidad de la moto es \(50{Km\over h}\) y el tiempo que necesita para realizar el recorrido es 6 horas.
Si quiere hacer el mimo recorrido en una hora menos, la velocidad de la moto debe ser \(60{Km\over h}\).
PREGUNTA: