CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Retomemos la distribución de las estaturas de los estudiantes de grado octavo de colegios de Bogotá, estudiada en la selección anterior, y hallemos los valores exactos de las medidas de tendencia central.
MEDIA ARITMÉTICA
Calculemos, exactamente, el valor de la estatura promedio, es decir, la estatura que tendrian todos y cada uno de los estudiantes de la muestra si todos tuvieran la misma altura y la suma de las estaturas fuera la misma que resulta para la muestra.
La suma total de la estaturas de este grupo de estudiantes se calucla realizando el producto de cada marca de clase por su frecuencia y sumando esos resultados esa suma es \(7950cm\); como son 50 estudiantes, entonces a cada uno le corresponde una estatura de \(\frac{7950cm}{50}=159cm\)
La media aritmética se calcula, exactamente, mediante la expresión:
\(Media\,Aritmetica=\frac{Suma\,de\,los\,productos\,x_i\,f_i}{numero\,de\,elementos\,de\,la\,muestra}\)
LA MEDIANA
Para calcular exactamente el valor de la mediana, que se ha estimado en la lección anterior como un valor entre \(157\) y \(159.5cm\), es necesario tener en cuenta que como la estatura es uan variable continua, los límites de los intervalos son realmente los que se toman como límites reales.
Por debajo de \(154.5\) se encuentran, de acuerdo con la frecuencia acumulada, un total de \(14\) datos. Para llegar al dato \(25\) necesitamos \(11\) datos \((25-14=11)\) que debemos tomarlos de los \(13\) que están en la clase mediana y que correponden a sus \(\frac{11}{13}\) partes.
Como los datos están equitativamente distribuidos en cada intervalo, si a los trece datos de la clase mediana corresponden \(5cm\) que es la longitud de cada intervalo, a sus \(\frac{11}{13}\) partes corresponden \(\frac{11}{3}*5=4.23cm\).
En conclusión, el dato \(25\) está a \(4.23cm\) de \(154.5\). Luego la mediana es \(154.5+4.23=154.5+5*\frac{25-14}{13}=158.73cm\).
La mediana de una distribución agrupada de datos se calcula exactamente mediante el siguiente procedimiento:
- Se determina la diferencia entre la mitad del número total de datos \((\frac{1}{2}n)\) y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana.
- Se calcula el cociente ente la diferencia anterior y la frecuencia absoluta de la clase mediana.
- Se multiplica el valor del cociente por la longitud del intervalo.
- Al límite inferior real de la clase mediana se suma el producto obtenido.
LA MODA
El cálculo del valor exacto de la moda de una distribución agrupada se fundamenta en la construcción que permite estimar la moda y que se realizo en la lección anterior.
La moda de una distribución agrupada se calcula mediante la expresión:
\(\frac{f_{cm}-f_{ca}}{f_{cm}-f_{cs}}=\frac{M_o-L_i}{L_s-M_o}\)
Para la distribución de frecuencias de la estatura de lo \(50\) alumnos de grado octavo se tiene:
La proporción queda:
\(\frac{1}{9}=\frac{M_o-159.5}{164.5-M_o}\)
\(1*(164.5-M_o)=9*(M_o-159.5)\)
\(164.5-1*M_o=9*M_o-9*159.5\)
\(159.5+1*164.5=M_o(9+1)\)
\(143.5+164.5=10*M_o\)
\(\frac{1600}{10}=M_o\)
\(160cm=M_o\)
Este valor para la moda está de acuerdo con la estimación hecha en la lección anterior (un valor entre \(159.5cm\) \(162cm\)).
PREGUNTA: ¿?