FUNCIÓN INVERSA
Una función f puede tener el mismo valor para diferentes números en su dominio por ejemplo, si \(f(x)= x^{2}\), entonces \(f(2)=4\) y \(f(-2)=4\), pero 2 diferente de -2.Para definir a la inversa de una función, e esencial que distintos números en el dominio den siempre diferentes valores de f. Tales funciones se llaman biunívocas( o inyectivas uno a uno).
PASOS PARA OBTENER \(F^{-1}\) :
Verificar que f es una función biunívoca ( o que f es creciente o decreciente) en u su dominio.
Resolver la ecuación \(y=f(x)\) para evaluar x en términos de y obteniendo una ecuación de la forma \(x= f^{-1}\)
Verificar las dos condiciones
\(f^{-1}(f(x))=x\) y \(f(f^{-1}(x))=x\)
para toda x en los dominios de f y de \(f^{-1}\), respectivamente.
EJEMPLO:
Si \(f(x)= 3x-5\), hallar la función inversa de f .
se seguirán los 3 pasos:
Primero nótese que en la gráfica de la función lineal f es una recta de pendiente 3 y por tanto f es creciente sobre todo real.
Ahora:
se considera :
\(y=3x-5\)
y luego se resuelve para determinar x en función de y obteniendo:
\(y+5=3x\)
\({y+5 \over 3} = {3+x \over 3}\)
\(x={y+5 \over 3}\)
Ahora formalmente se hace:
\( f^{-1}(y)={y+5 \over 3}\) o \(f(f^{-1}(x))={x+5 \over 3}\)
Finalmente se verifica:
\(f^{-1}(f(x))= f^{-1}*(3x-5)\)
\(f^{-1}(f(x))=({3x-5 + 5 \over3})\)
\(f^{-1}(f(x))=x\)
También:
\(f(f^{-1}(x))=f({x+5 \over 3})\)
\(f(f^{-1}(x))=3({x+5 \over 3})-5\)
\(f(f^{-1}(x))=x\)
PREGUNTA: ¿Cuál es la función inversa de \(y= 8x-16\)?